Algorithmus für die Ableitung der Steuerpunkte einer bezier-Kurve vom Punkte entlang dieser Kurve?

Habe ich schon lange gesucht, aber offensichtlich nicht zu finden, ein Algorithmus, der mir erlauben wird, stecken Sie in eine Liste von x,y-Koordinaten, die bekannt sind, um entlang einer Kurve, um so die 4 Kontrollpunkte einer kubischen Bézier-Kurve ausspucken.

Um genauer zu sein, ich bin auf der Suche nach einem Algorithmus, der mir die zwei Kontrollpunkte benötigt, um die Form der Kurve, während der Eingabe eine Reihe diskreter Punkte, einschließlich der beiden Kontrollpunkte bestimmen die start-und Endpunkt der Kurve.

Dank!

Edit: Okay, wegen Mathe, ein Alter Feind, ich bitte um die bezier-Kurve, die am besten passen, um eine Polynom-Funktion.

InformationsquelleAutor Everlag | 2013-10-07
  1. 9

    Also gehe ich davon aus, dass die Endpunkte fixiert, und dann haben Sie eine Anzahl von (x,y) sample-Punkte, die Sie wollen fit, mit einer kubischen Bézier -.

    Die Anzahl der Sampling-Punkte, die Sie haben wird bestimmen, was Ansatz zu nehmen. Schauen wir uns ein paar Fälle:

    2 Punkte

    2 sample-Punkte ist der einfachste Fall. Das gibt Ihnen insgesamt 4 Punkte, wenn Sie zählen am Ende Punkte. Dies ist die Anzahl von CVs in einer kubischen Bézier. Um dieses Problem zu lösen, müssen Sie einen parameter (t) - Wert für die beiden sample-Punkte. Dann haben Sie ein system von 2 Gleichungen und 2 Punkte, die Sie lösen müssen, wo die Gleichung ist die parametrische Gleichung einer Bezier-Kurve an der t-Werte, die Sie gewählt haben.

    Den t-Werten können, was Sie möchten, aber Sie werden bessere Ergebnisse erhalten, indem Sie entweder 1/3 oder 2/3, oder ein Blick auf relative Entfernungen oder relative Entfernungen entlang einer Grundlinie, je auf Ihre Daten.

    1 Punkt

    Dies ist ähnlich zu 2 Punkte, außer, dass Sie nicht genügend Informationen, um eindeutig zu bestimmen, alle Ihre Freiheitsgrade. Was würde ich vorschlagen, ist der Einbau eines quadratischen Bézier, und dann Grad erhöhen. Ich schrieb ein ausführliches Beispiel quadratische Einbau in diese Frage.

    Mehr als 2 Punkte

    In diesem Fall, gibt es nicht eine einzige Lösung. Ich habe verwendet, least-squares-approximation mit guten Ergebnissen. Die Schritte sind:

    • Pick t-Werte für jede Probe
    • Bauen Sie Ihr system von Gleichungen als matrix
    • Optional Verkleidung oder andere glättende Funktion
    • Lösen der matrix mit einem least-squares-solver

    Gibt es eine gute Beschreibung dieser Schritte in diesem Kostenlose cagd lehrbuch, Kapitel 11. Er spricht über die Montage von b-splines, aber eine kubische bezier-ist eine Art von b-spline (Knoten Vektor ist 0,0,0,1,1,1 und hat 4 Punkte).

    • Danke für die schnelle Antwort. Ich dachte, algebra, wäre wahrscheinlich erforderlich sein, aber das könnte ein bisschen obszön gegeben eine Kurve haben könnte, die Tausende von Punkten. Ich gebe einen Versuch zu brechen große Kurven in kleinere Kurven und anwenden der zwei-Punkt-Methode. Falls das nicht funktioniert, gebe ich das größer-als-zwei-Punkt-versuchen Sie einen Versuch!
    • Wenn die Kurve Genauigkeit spielt keine Rolle, zu viel, Sie könnten versuchen, nur Kommissionierung zwei Punkte, und der 2-Punkt-Methode.. 🙂
    • Ich bin mit dem Ziel für eine anständige Erholung von den Kanten isoliert, mit dem sobel-operator, so Genauigkeit wäre sehr viel lieber.
    InformationsquelleAutor tfinniga
  2. 7

    Lassen Sie uns sagen, Sie haben eine Kurve y = f(x)

    Definieren einer bezier-Kurve, braucht man 4 Punkte, wie:
    P1x, P1y, P2x, P2y, P3x, P3y und P4x und P4y

    P1 und P4 sind Sie der begin/end-Punkten der Kurve. P2 und P3 sind control points.
    Sie bereits wissen, wo der Anfang und das Ende der Kurve ist. Sie haben zu berechnen, P2 und P3. Die x-Koordinate, P2x und P3x sind einfach, da Sie nur wählen Sie Sie, indem Sie die Kurve t werden, z.B. 1/3 und 2/3. So haben Sie P2x und P3x
    Dann, Sie am Ende mit einem system von zwei Gleichungen und zwei unbekannten (die und P2y P3y).
    Nach Knirschen einige mathematische, die Sie am Ende mit etwas wie dieses:

    (Mein f(x) wurde eine kubische Polynome, welche auch garantiert, dass ich in der Lage wäre, um zu passen eine kubische Bezier-Kurve, um es genau.)

    /**
    @params {Object} firstPoint = {x:...,y...}
    @params {Object} lastPoint = {x:...,y...}
    @params {Object} cubicPoly Definition of a cubic polynomial in the form  y=ax^3+bx^2+c. 
  Has a method EvaluateAt, which calculates y for a particular x

*/
var CalcBezierControlPoints = function(firstPoint, lastPoint, cubicPoly) {
    var xDiff = lastPoint.X - firstPoint.X;
    var x1 = firstPoint.X + xDiff /3.0;
    var x2 = firstPoint.X + 2.0 * xDiff /3.0;

    var y1 = cubicPoly.EvaluateAt(x1);
    var y2 = cubicPoly.EvaluateAt(x2);

    var f1 = 0.296296296296296296296; //(1-1/3)^3
    var f2 = 0.037037037037037037037; //(1-2/3)^3
    var f3 = 0.296296296296296296296; //(2/3)^3

    var b1 = y1 - firstPoint.Y * f1 - lastPoint.Y /27.0;
    var b2 = y2 - firstPoint.Y * f2 - f3 * lastPoint.Y;

    var c1 = (-2 * b1 + b2) /-0.666666666666666666;
    var c2 = (b2 - 0.2222222222222 * c1) /0.44444444444444444;

    var p2 = {};
    var p3 = {};
    p2.X = x1;
    p2.Y = c1;

    p3.X = x2;
    p3.Y = c2;

    return ([p2, p3]);
}
    InformationsquelleAutor TomTichy
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