Die Berechnung der null-Raum der matrix

Ich versuche, zu lösen ist ein Gleichungssystem der form Ax = 0. Eine ist bekannt 6x6-matrix, und ich habe geschrieben, die folgenden code mithilfe der SVD um den Vektor x, die funktioniert zu einem gewissen Grad. Die Antwort ist in etwa korrekt, aber nicht gut genug, um nützlich für mich, wie kann ich das verbessern der Genauigkeit der Berechnung? Senkung der eps unter 1.e-4 bewirkt, dass die Funktion fehlschlägt.

from numpy.linalg import *
from numpy import *

A = matrix([[0.624010149127497 ,0.020915658603923 ,0.838082638087629 ,62.0778180312547 ,-0.336 ,0],
[0.669649399820597 ,0.344105317421833 ,0.0543868015800246 ,49.0194290212841 ,-0.267 ,0],
[0.473153758252885 ,0.366893577716959 ,0.924972565581684 ,186.071352614705 ,-1 ,0],
[0.0759305208803158 ,0.356365401030535 ,0.126682113674883 ,175.292109352674 ,0 ,-5.201],
[0.91160934274653 ,0.32447818779582 ,0.741382053883291 ,0.11536775372698 ,0 ,-0.034],
[0.480860406786873 ,0.903499596111067 ,0.542581424762866 ,32.782593418975 ,0 ,-1]])

def null(A, eps=1e-3):
  u,s,vh = svd(A,full_matrices=1,compute_uv=1)
  null_space = compress(s <= eps, vh, axis=0)
  return null_space.T

NS = null(A)
print "Null space equals ",NS,"\n"
print dot(A,NS)
InformationsquelleAutor Ainsworth | 2010-06-07
  1. 10

    A ist voller Rang --- so x ist 0

    Da sieht es aus wie Sie einen least-squares Lösung, d.h. min ||A*x|| s.t. ||x|| = 1, tun die SVD so dass [U S V] = svd(A) und in der letzten Spalte der V (vorausgesetzt, dass die Spalten sortiert werden in der Reihenfolge der abnehmenden singular values) ist x.

    I. e., 

    U =

     -0.23024     -0.23241      0.28225     -0.59968     -0.04403     -0.67213
      -0.1818     -0.16426      0.18132      0.39639      0.83929     -0.21343
     -0.69008     -0.59685     -0.18202      0.10908     -0.20664      0.28255
     -0.65033      0.73984    -0.066702     -0.12447     0.088364       0.0442
  -0.00045131    -0.043887      0.71552     -0.32745       0.1436      0.59855
     -0.12164      0.11611       0.5813      0.59046     -0.47173     -0.25029


S =

       269.62            0            0            0            0            0
            0       4.1038            0            0            0            0
            0            0        1.656            0            0            0
            0            0            0       0.6416            0            0
            0            0            0            0      0.49215            0
            0            0            0            0            0   0.00027528


V =

    -0.002597     -0.11341      0.68728     -0.12654      0.70622    0.0050325
   -0.0024567     0.018021       0.4439      0.85217     -0.27644    0.0028357
   -0.0036713      -0.1539      0.55281      -0.4961      -0.6516   0.00013067
      -0.9999    -0.011204   -0.0068651    0.0013713    0.0014128    0.0052698
    0.0030264      0.17515      0.02341    -0.020917   -0.0054032      0.98402
     0.012996     -0.96557     -0.15623      0.10603     0.014754      0.17788

    So,

    x =

    0.0050325
    0.0028357
   0.00013067
    0.0052698
      0.98402
      0.17788

    Und ||A*x|| = 0.00027528 im Gegensatz zu deiner bisherigen Lösung für x wo ||A*x_old|| = 0.079442

    • x=0 ist eine Lösung des Problems, aber ein uninteressanter ein. Die wahre Lösung des Problems, kam mit anderen Mitteln ist: [0.880057009282733,0.571293018023548,0.0664250041765576,1,186.758799941964,33.7579819749057]T
    • Sind Sie sicher? Ich sehe einige nicht-null-Elemente in das Ergebnis A*x --- [-0.056356 -0.055643 -7.3896e-013 -0.0043278 0.004483 -2.1316e-014]
    • Es sei denn natürlich, Sie wollen nicht die null Platz, aber die least-squares Lösung, d.h. min ||A*x|| s.t. ||x|| = 1
    • Ganz zu Recht über die nicht-null-Elemente, OpenOffice calc (die andere heißt) war verwirrend das Problem, indem Sie sagen: A*x=0 für x habe ich zitiert. Sieht aus wie ich will, der least-squares-Lösung.
    • Ich Stimme mit Jacob. A hat vollen Rang. Der Grund dafür, dass Sie immer Fehler ein eps von 1e-4 ist, weil der kleinste singuläre Wert der matrix ist 2.75282332 e-04. In anderen Worten, Sie müssen einzigartige Werte, die 0 sind (innerhalb des floating point-Genauigkeit), um einen null-Raum mit Vektoren anderer als der null-Vektor. Durch die Art und Weise, Matlab gibt x als 0 als gut.
    • Aktualisiert mit der least-squares-Lösung.
    • Vielen Dank, genau das, was ich suchte.

    InformationsquelleAutor Jacob
  2. 5

    Achtung: Es könnte Verwechslungen mit der SVD in python vs. matlab-syntax(?):
    in python, numpy.linalg.svd(A) gibt die Matrizen u,s,v so, dass u*s*v = A
    (streng: dot(u, dot(diag(s), v) = A, da s ist ein Vektor und nicht einer 2D-matrix in numpy).

    Die oberste Antwort ist richtig in dem Sinne, dass die in der Regel Sie schreiben u*s*vh = A und vh zurückgegeben wird, und diese Antwort beschreibt v UND NICHT vh.

    Um eine lange Geschichte kurz zu machen: wenn Sie Matrizen u,s,v so, dass u*s*v = A, dann ist die Letzte Zeilen von v, nicht den letzten Spalten von v, beschreiben die nullspace.

    Edit: [für Leute wie mich:] jeweils den letzten Zeilen ist ein Vektor v0, so dass A*v0 = 0 ist (wenn die entsprechenden singular-Wert ist 0)

    InformationsquelleAutor Moritz
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