Power-iteration

Ich versuche zu verstehen, die power-iteration zur Berechnung der Eigenwerte einer matrix.

Folgte ich dem Algorithmus von en.wikipedia.org/wiki/Power_iteration#The_method:

from math import sqrt

def powerIteration(A):

    b = [random() for i in range(len(A))]
    tmp = [0] * len(A)

    for iteration in range(10000):

        for i in range(0, len(A)):
            tmp[i] = 0
            for j in range(0, len(A)):
                tmp[i] += A[i][j] * b[j]

        normSq = 0
        for k in range(0, len(A)):
            normSq += tmp[k] * tmp[k]
        norm = sqrt(normSq)

        for i in range(len(A)):
            b[i] = tmp[i] / norm

    return b

Wenn ich powerMethod([[0.0, 1.0], [1.0, 0.0]]) gibt es zufällig paar zahlen, wie zum Beispiel: [0.348454142915605, 0.9373258293064111] oder [0.741752215683863, 0.6706740270266026]

Frage #1 - warum sind diese zahlen zufällig? Natürlich begann ich mit dem random Vektor b aber ich hoffte, es würde konvergieren.

Frage #2 - da ist dieser Online Matrix Calculator zu denen, wenn ich feed:

0 1
1 0

gibt es:

Eigenvalues:
( 1.000, 0.000i)
(-1.000, 0.000i)

Eigenvectors:
( 0.707, 0.000i) (-0.707, 0.000i)
( 0.707, 0.000i) ( 0.707, 0.000i)

Wenn ich das richtig verstanden habe, zurückgeben b sollte man diese Eigenvektoren, aber es funktioniert nicht. Warum ist die Ausgabe so anders?

Frage #3 - was soll ich den oben beschriebenen Algorithmus, so dass es gibt einen Eigenwert (In diesem Beispiel ist es entweder 1 oder -1)? (Wenn richtig verstanden, die power-iteration gibt nur einen Eigenwert.) Wie kann ich eigentlich berechnen einen Eigenwert?

InformationsquelleAutor Ecir Hana | 2014-03-07
  1. 2

    Die power-Methode nicht konvergiert, für Ihre matrix.

    Aus der wikipedia-Seite:

    Die Konvergenz geometrische, Verhältnis
    |lambda_2 /lambda_1|

    Lambda_1 und lambda_2 sind die zwei höchsten Absolutwert der Eigenwerte. In Ihrem Fall, Sie sind 1 und -1, so dass die Konvergenz-Verhältnis|1/-1| = 1. In anderen Worten, der Fehler bleibt der gleiche, die bei jedem Durchlauf, so dass die power-Methode funktioniert nicht.

    Andere Art zu verstehen ist, dass die matrix nimmt ein paar (a,b) und kehrt es um (b,a). Die Antwort, die Sie erhalten, wird einfach davon abhängen, ob Sie eine gerade oder ungerade Anzahl von Iterationen.

    • Ähm, das ist...bedauerlich. Gibt es irgendetwas, was ich dagegen tun kann, außer mit anderen Algorithmus? Wie berechne ich diese lambda_{1, 2} überhaupt? Wenn ich verwendet verschiedene matrix, sagen [[0.0, 2.0], [1.0, 0.0]] es immer noch nicht konvergieren..?
    • Man hat zwei Eigenwerte der norm sqrt(2), so dass das Verhältnis wieder 1.
    • Es ist eine Sache, die Sie tun können, und das ist die Anwendung einer matrix-Veränderung, brechen die Symmetrie. Dies gilt offensichtlich nicht für mehrere Eigenwerte. So versuchen überarbeiten [[1.0, 2.0], [1.0, 1.0]] und denken Sie daran, subtrahieren Sie 1 von der Eigenwerte dieser matrix zu kompensieren den zusätzlichen identity matrix.
    InformationsquelleAutor Peter de Rivaz
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