Schnittpunkt zwischen einer Linie und einer Kugel

Express der Linie als eine Funktion von t:

{ x(t) = x0*(1-t) + t*x1
{ y(t) = y0*(1-t) + t*y1
{ z(t) = z0*(1-t) + t*z1

Wenn t = 0 es wird an einem Ende-Punkt (x0,y0,z0). Wenn t = 1 werden, wird es am anderen Ende-Punkt (x1,y1,z1).

Schreiben Sie eine Formel für den Abstand zum Zentrum der Kugel (zum Quadrat) in t (wo (xc,yc,zc) ist der Kugelmittelpunkt):

f(t) = (x(t) - xc)^2 + (y(t) - yc)^2 + (z(t) - zc)^2

Lösen für t wenn f(t) gleich R^2 (R wird der radius der Kugel):

(x(t) - xc)^2 + (y(t) - yc)^2 + (z(t) - zc)^2 = R^2

A = (x0-xc)^2 + (y0-yc)^2 + (z0-zc)^2 - R^2
B = (x1-xc)^2 + (y1-yc)^2 + (z1-zc)^2 - A - C - R^2
C = (x0-x1)^2 + (y0-y1)^2 + (z0-z1)^2

Lösen A + B*t + C*t^2 = 0 für t. Dies ist eine normale quadratische Gleichung.

Können Sie bis zu zwei Lösungen. Jede Lösung, wo t liegt zwischen 0 und 1 gültig.

Wenn du eine gültige Lösung für t, stecken Sie es in die ersten Gleichungen um den Schnittpunkt.

Bin ich davon ausgegangen, du meintest ein Liniensegment (zwei end-Punkte). Wenn Sie stattdessen möchten Sie eine vollständige Zeile (unendliche Länge), dann könnten Sie wählen Sie zwei Punkte entlang der Linie (nicht zu nah), und verwenden Sie Sie. Auch lassen t wirklichen Wert, nicht nur zwischen 0 und 1.

Edit: ich der festen Formel für B. Ich war die Vermischung der Zeichen. Dank M Katz, zu erwähnen, dass es nicht funktioniert.

InformationsquelleAutor Markus Jarderot

Nicht genug Ruf zu kommentieren, M Katz Antwort, aber seine Antwort wird davon ausgegangen, dass die Linie gehen kann stufenlos in jede Richtung. Wenn Sie müssen nur das line-SEGMENT intersection Punkte, die Sie benötigen, t1 und t2 weniger als ein (basierend auf der definition eines parametrisierten Gleichung). Bitte siehe meine Antwort in C# unter:

        public static Point3D[] FindLineSphereIntersections(Point3D linePoint0, Point3D linePoint1, Point3D circleCenter, double circleRadius)
    {

        double cx = circleCenter.X;
        double cy = circleCenter.Y;
        double cz = circleCenter.Z;

        double px = linePoint0.X;
        double py = linePoint0.Y;
        double pz = linePoint0.Z;

        double vx = linePoint1.X - px;
        double vy = linePoint1.Y - py;
        double vz = linePoint1.Z - pz;

        double A = vx * vx + vy * vy + vz * vz;
        double B = 2.0 * (px * vx + py * vy + pz * vz - vx * cx - vy * cy - vz * cz);
        double C = px * px - 2 * px * cx + cx * cx + py * py - 2 * py * cy + cy * cy +
                   pz * pz - 2 * pz * cz + cz * cz - circleRadius * circleRadius;

        //discriminant
        double D = B * B - 4 * A * C;

        double t1 = (-B - Math.Sqrt(D)) /(2.0 * A);

        Point3D solution1 = new Point3D(linePoint0.X * (1 - t1) + t1 * linePoint1.X,
                                         linePoint0.Y * (1 - t1) + t1 * linePoint1.Y,
                                         linePoint0.Z * (1 - t1) + t1 * linePoint1.Z);

        double t2 = (-B + Math.Sqrt(D)) /(2.0 * A);
        Point3D solution2 = new Point3D(linePoint0.X * (1 - t2) + t2 * linePoint1.X,
                                         linePoint0.Y * (1 - t2) + t2 * linePoint1.Y,
                                         linePoint0.Z * (1 - t2) + t2 * linePoint1.Z);

        if (D < 0 || t1 > 1 || t2 >1)
        {
            return new Point3D[0];
        }
        else if (D == 0)
        {
            return new [] { solution1 };
        }
        else
        {
            return new [] { solution1, solution2 };
        }
    }

InformationsquelleAutor Ashavsky

Können Sie die Verwendung von Wolfram Alpha zu lösen, es in das Koordinaten-system, in dem die Kugel zentriert ist.

In diesem system, die Gleichungen sind:

Kugel:

     x^2 + y^2 + z^2 = r^2  

Gerade:

    x = x0 + Cos[x1] t
    y = y0 + Cos[y1] t
    z = z0 + Cos[z1] t 

Dann Fragen wir Wolfram Alpha zu lösen für t: (Probier es!)

und danach ändern Sie wieder zu Ihrem ursprünglichen Koordinatensystem (einfache übersetzung)

InformationsquelleAutor Dr. belisarius

Hier ist eine genauere Formulierung mit inneren Produkten, die weniger als 100 Loks, und keine externen links. Auch die Frage wurde gebeten, eine Zeile, eine Zeile segment.

Davon ausgehen, dass die Kugel, zentriert auf C mit radius r. Die Linie wird beschrieben durch P+l*D wo D*D=1. P und C sind Punkte, die D ist ein Vektor, l ist eine Zahl.

Setzen wir PC = P-C, pd = PC*D und s = pd*pd - PC*PC + r*r. Wenn s < 0 es gibt keine Lösungen, wenn s == 0 gibt es nur eins, ansonsten sind es zwei. Für die Lösungen, die wir setzen l = -pd +- sqrt(s), dann Stecker in P+l*D.

InformationsquelleAutor Andreas Haferburg

Habe ich nicht den Ruf zu kommentieren Ashavsky Lösung, aber die Prüfung am Ende brauchte ein bisschen mehr tweaken.

if (D < 0)
    return new Point3D[0];
else if ((t1 > 1 || t1 < 0) && (t2 > 1 || t2 < 0))
    return new Point3D[0];
else if (!(t1 > 1 || t1 < 0) && (t2 > 1 || t2 < 0))
    return new [] { solution1 };
else if ((t1 > 1 || t1 < 0) && !(t2 > 1 || t2 < 0))
    return new [] { solution2 };
else if (D == 0)
    return new [] { solution1 };
else
    return new [] { solution1, solution2 };

InformationsquelleAutor Nate Pink