So berechnen Sie den Punkt neben der Verwendung von Jacobi-Koordinaten-system über elliptischen Kurven

Die jacobische form der projektiven Koordinaten (wie jeder anderen form) ist jedoch nicht einzigartig für jeden Wert von Z (andere als 0), Sie bekommen andere X und Y ohne den eigentlichen Punkt zu ändern.

Also, wenn Sie einen Punkt in affine Koordinaten (X', Y'), das paar (X', Y', 1) ist eine projektiv-Vertreter dieser Punkt, sowie (4·X', 8·Y', 2), (9·X', 27·Y', 3) usw. Der mit 1 ist die am einfachsten zu erstellen, also in der Regel würden Sie diese benutzen.

Zwar kann man definieren (und zu studieren) elliptischer Kurven über einem Feld, und viele Mathematiker, die Studie Kurven über den komplexen zahlen, die für kryptografische Anwendungen, die Koordinaten sind Elemente einer endlichen Feld. Im einfachsten Fall, wir haben eine prime-Bereich (D. H. ganze zahlen modulo einer Primzahl), und Sie haben zu tun, addition, Subtraktion, Multiplikation und division (und wahrscheinlich Potenzierung) in diesem Bereich.

Solange Z ist nicht null, Sie sollten in der Lage sein zu teilen, indem Z² - dies entspricht der Multiplikation mit der inversen von Z2, und ein solches element existiert, und berechnet werden kann effizient mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus.

Dies ist am einfachsten, wenn Sie Ihre Programmiersprache kommt mit einigen großen Zahl Bibliothek, die die notwendigen Operationen vordefiniert, wie Java BigInteger Klasse (mit seinen mod, modPow und modInverse Methoden).

Bereich in Frage (D. H. der E-Modul) ist Teil der definition der elliptischen Kurve, und die Operationen über ein Feld geben völlig unterschiedliche Ergebnisse als Operationen anderen. So stellen Sie sicher, dass Sie mit dem rechten Feld.

Hier ist ein Beispiel in python:

def to_jacobian((Xp, Yp)):
    """
    Convert point to Jacobian coordinates

    :param (Xp,Yp,Zp): First Point you want to add
    :return: Point in Jacobian coordinates
    """
    return (Xp, Yp, 1)

def from_jacobian((Xp, Yp, Zp), P):
    """
    Convert point back from Jacobian coordinates

    :param (Xp,Yp,Zp): First Point you want to add
    :param P: Prime number in the module of the equation Y^2 = X^3 + A*X + B (mod p)
    :return: Point in default coordinates
    """
    z = inv(Zp, P)
    return ((Xp * z**2) % P, (Yp * z**3) % P)

def jacobian_add((Xp, Yp, Zp), (Xq, Yq, Zq), A, P):
    """
    Add two points in elliptic curves

    :param (Xp,Yp,Zp): First Point you want to add
    :param (Xq,Yq,Zq): Second Point you want to add
    :param P: Prime number in the module of the equation Y^2 = X^3 + A*X + B (mod p)
    :param A: Coefficient of the first-order term of the equation Y^2 = X^3 + A*X + B (mod p)
    :return: Point that represents the sum of First and Second Point
    """
    if not Yp:
        return (Xq, Yq, Zq)
    if not Yq:
        return (Xp, Yp, Zp)
    U1 = (Xp * Zq ** 2) % P
    U2 = (Xq * Zp ** 2) % P
    S1 = (Yp * Zq ** 3) % P
    S2 = (Yq * Zp ** 3) % P
    if U1 == U2:
        if S1 != S2:
            return (0, 0, 1)
        return jacobian_double((Xp, Yp, Zp), A, P)
    H = U2 - U1
    R = S2 - S1
    H2 = (H * H) % P
    H3 = (H * H2) % P
    U1H2 = (U1 * H2) % P
    nx = (R ** 2 - H3 - 2 * U1H2) % P
    ny = (R * (U1H2 - nx) - S1 * H3) % P
    nz = (H * Zp * Zq) % P
    return (nx, ny, nz)

So können Sie die Summe mit:

def fast_add(a, b, A, P):
    return from_jacobian(jacobian_add(to_jacobian(a), to_jacobian(b), A, P), P)